SIGLENT （シグレント）SDS7000A シリーズ デジタル・オシロスコープ

コヒーレンス、パワースペクトル、クロスパワースペクトルは、信号処理において2つの信号の関係性を周波数領域で分析するための重要な概念です。それぞれの計算方法を以下にまとめます。

パワースペクトル (P_xx​(f))

パワースペクトルは、1つの信号が各周波数にどれだけの「パワー」（エネルギー）を持っているかを示すものです。信号の自己相関をフーリエ変換することで得られます。

クロスパワースペクトル (P_xy​(f))

クロスパワースペクトルは、2つの異なる信号$x(t)$と$y(t)$が、周波数ごとにどの程度相関しているかを示すものです。2つの信号の相互相関をフーリエ変換することで得られます。$

クロスパワースペクトルは一般的に複素数となり、その絶対値が両信号の共通の周波数成分の強さを示し、偏角（位相）が両信号間の位相差を示します。

コヒーレンス ($\text{Coh}(f)$)

コヒーレンスは、2つの信号間の線形相関の度合いを周波数ごとに0から1の間の値で示す指標です。 言い換えれば、周波数領域における「相関係数の2乗」のようなものです。信号$x(t)$と$y(t)$のコヒーレンス関数$Coh_xy(f)は、パワースペクトルとクロスパワースペクトルを使って以下の式で計算されます。

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ここで、Pxx(f)$と$Pyy(f)$はそれぞれ信号$x(t)$と$y(t)のパワースペクトルです。

• コヒーレンスが1に近い場合: その周波数で2つの信号の関連性が非常に高いことを意味します。

• コヒーレンスが0に近い場合: その周波数で2つの信号間に線形な関係性がほとんどないことを意味します。

計算手順の例 💻

1. 2つの時系列信号$x(t)$と$y(t)$を収集する。

2. 各信号を複数のセグメントに分割する。（ウェルチ法など）

3. 各セグメントに対して離散フーリエ変換（DFT/FFT）を実行し、周波数スペクトル$X(f)$と$Y(f)$を得る。

4. 各セグメントの以下の値を計算し、セグメント間で平均化する。

   • パワースペクトル：Pxx​(f)=X(f)⋅X∗(f)

   • パワースペクトル：Pyy​(f)=Y(f)⋅Y∗(f)

   • クロスパワースペクトル：Pxy​(f)=X∗(f)Y(f)

5. 平均化されたパワースペクトルとクロスパワースペクトルを用いて、上記のコヒーレンスの式を計算する。

多くのプログラミング言語（Pythonのscipy.signal.coherenceなど）には、これらの計算を行うための便利な関数が用意されています。